Анализ функции Г.В. Шелейховского и последующих предложений

Г.А.Гольц

 

На наличие закономерностей расселения было обращено внимание еще в конце XIX в. С одной стороны, это было связано с изучением роста населения городов в центральной части и на периферии и распределением населения по плотности по городской территории, с другой стороны, с выявлением закономерностей распределения пассажиропотоков в пространстве. В целом выявленная закономерность заключалась в том, что с увеличением расстояния, которое сначала выражали в мерах длины, а затем в мерах времени, уменьшается количество расселяющихся относительно центра тяготения. В табл. Приведены основные этапы развития математического выражения этой закономерности. Не претендуя на полноту обзора всех предложенных за период развития теории пассажирских перевозок математических выражений для отображения закономерностей расселения, таблица показывает лишь общее развитие научной мысли в этом вопросе. Здесь же приведено и предложение автора, о котором более подробно будет сказано ниже.

Таблица 3.8

Обзор математических выражений, используемых для отображения закономерности

расселения относительно центра тяготения

Время появления и автор предложения

Вид функции

Краткая характеристика функции

Примечание

Конец XIX в., Э. Лилль 1889

1/S

Степенная функция /гипербола/

 

Начало 20-х гг. ХХ в., автор не установлен

1/Sk

Степенная функция /сложная гипербола/

Обобщенный закон Лилля. Применялся при анализе доходности тарифов на городском пассажирском транспорте

Начало 30-х гг., М.Л. Загордан, Ф.П. Кравец

a/S2

Степенная функция /квадратная /гипербола/

Рекомендована для расчета пассажирских перевозок

Начало 30-х гг., А.Х, Зильберталь

Точный вид функции не известен, аргумент функции расстояние

Вероятностная кривая типа многомерного нормального распределения

Использована при выводе эмпирической формулы длины поездки пассажиров

Середина 30-х гг., Г.В. Шелейховский

1/t ln T/t

Сложная логарифмическая функция

Известна в виде «шкалы нормального распределения»

Вторая половина 30-х гг., Ю.А. Шацкий

Усовершенствованная функция Шелейховского-определение процента расселяющихся пропорционально произведению b,W,s

Предложение сводится к сложной логарифмической функции

В виде функции распределения не выражена

Середина 40-х гг., автор не установлен

1/tk

Степенная функция /сложная гипербола/

Используются дробные показатели степени в интервале 1,5-2,2

Конец 40-х гг. Ю.А. Шацкий

Функции даны в графическом виде

Распределение трудящихся на единицу площади /по плотности/ имеет характер близкий к одномерному нормальному закону. Распределение количества трудящихся имеет характер близкий к многомерному нормальному закону

В аналитическом виде не выражены

Середина 50-х гг. А.М. Якшин

1/t2

Степенная функция /квадратная гипербола/

Является частным случаем формулы 1/tk при k=2

Середина 50-х гг. А.А. Поляков, В.А. Черепанов

Функции даны в графическом виде, могут быть представлены выражением a/tk

Степенная функция /сложная гипербола/

 

Начало 60-х гг. , М.О. Хауке

Усовершенствованная функция Шелейховского     4t/T2 ln T/t

Сложная логарифмическая функция

Вид функции распределения выведен нами на основе предложения, данного табличной схемой

Начало 60-х гг., О.К. Кудрявцев

Вероятностная кривая, логарифмически нормальный закон

 

Начало 60-х гг., Д.С. Самойлов

Вероятностная кривая, распределение Максвела

 

Начало 60-х гг., Е.А. Баркова

Функция дана в графическом виде

Вероятностная кривая типа многомерного нормального распределения

Является результатом обработки данных обследования, которое представлено полным распределением

Предложение автора, 1964 г.

Распределение трудящихся на единицу площади /по плотности/

Вероятностная кривая. Одномерное нормальное распределение /колокол Гаусса/

Является предельным состоянием, когда возможности расселения равномерно увеличиваются во все стороны от центров тяготения. Применима для крупнейших городов.

 

Распределение количества трудящихся

Вероятностная кривая. Двумерный нормальный закон для круга с переменным радиусом

В общем случае необходима обработка двумерного нормального закона в соответствии с функцией, отражающей конкретные территориальные возможности расселения вокруг центров тяготения

Обозначения к табл. 3.8.

Аргументы функций: S – расстояние; t – время; х – выбирается в зависимости от характера рассматриваемого явления.

Параметры функций: Т – предел расселения; Vп – скорость передвижения; к – показатель степени; а – коэффициент; a,b,h – статистики распределения.

Прочие показатели: bi – веса вероятностного расселения по шкале Г.В. Шелейховского; si – плотность населения брутто в данной зоне; Wi – размер территории данной зоны затрат времени.

 

Рассмотрение таблицы обнаруживает следующее.

До Г.В. Шелейховского в качестве аргумента функции, отражающей закономерность расселения относительно центра тяготения, бралось расстояние, км а после него – время. Типы функций можно четко разбить на три группы: степенные функции, являющиеся развитием идеи закона Лилля; сложные логарифмические функции – функция Г.В. Шелейховского и все предложения по ее усовершенствованию; вероятностные /показательные/ функции, примененные А.Х. Зильберталем и получившие развитие в последний период.

Группа степенных функций весьма хорошо отображает закономерность расселения лишь во второй половине шкалы времени. Достоинство их заключается в том, что значения функции с ростом аргумента асимптотически приближается к оси абсцисс, а недостатком т, что при начальных значениях аргумента дает слишком большие значения функции, асимптотически приближаясь к оси ординат. Сложная логарифмическая функция Г.В. Шелейховского имеет обрыв в точке предельного расселения и также асимптотически приближается к оси ординат. По сравнению со степенной функцией она имеет худшие показатели, так как лишена указанного достоинства последней, но благодаря тому, что значения функции были даны в доступной табличной форме, она используется во многих руководствах для иллюстрации закономерности расселения.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что большинство авторов четко не представляли, что они вкладывают в функцию, отображающую закономерность расселения относительно центра тяготения – распределение расселяющихся на единицу площади /по плотности/ или расселение количества расселяющихся. Впервые ясное разделение этих распределений сделал Ю.А. Шацкий, но его работы к сожалению, не были опубликованы. Этим можно в частности объяснить ту путаницу, которая связана с применением функции Г.В. Шелейховского для практических расчетов. Сам Г.В.Шелейховский рассматривал выведенную им формулу как распределение количества расселяющихся, затушёвывая недостатки ее применения в этом качестве санитарными разрывами от предприятий, благодаря введению которых снимались значения функции в начале шкалы времени. По своей природе функция Шелейховского как мы это увидим далее, ближе к отображению закономерности распределения расселяющихся по плотности, чем по количеству, что было подмечено Ю.А. Шацким и затем М.О. Хауке.

Постараемся разобраться в том вопросе подробно.

Г.В. Шелейховский дал толкование происхождения закономерности расселения относительно центра тяготения по времени и все последующее развитие теории взаимосвязи пассажирского транспорта и расселения базировалось на его фундаментальных работах. Вместе с тем математическая сторона его предложений с одной стороны, оставалась малоизвестной и не подвергалась теоретическому анализу, с другой стороны, данные фактических обследований давали существенные отклонения от «шкалы нормального расселения» Шелейховского. В целом такое положение в большой мере сохраняется и до настоящего времени и благодаря этому является тормозом для дальнейшего развития теории взаимосвязи пассажирского транспорта  и расселения.

Изложим кратко ход рассуждений Г.В. Шелейховского при выводе шкалы нормального расселения. Положим, что расселение не подчиняется какой-либо свойственной закономерности, а случайно. При этом расселение ориентируется не на расстояние, а на время, т.е.

n=f(t),                                                  (3.20)

где n – количество живущих на некотором выраженном во времени расстоянии от места их постоянного тяготения, выраженное в долях единицы.

Вероятность n иначе можно выразить как вероятность совместного события, при котором любая точка относительно осей Х и У определяется:

n=f(t)=f1(tx) f2(ty)                                (3.21)

Существует единственная функция, отвечающая поставленному условию /в виде дифференциальной функции[1]/:

n=f(t)=aec2t2                                                      (3.22)

Она же в виде интегральной функции

                     (3.23)

Сведем последнее выражение к функции нормального распределения вероятностей Лапласа-Гаусса:

                             (3.24)

получим, опуская промежуточные выкладки:

                   (3.25)

Последняя функция при значении аргумента равном трем[2] уже практически равна единице. Поэтому при условии, что расселение заканчивается на расстоянии R легко приводится к следующему виду, удобному для практических вычислений.

                              (3.26)

Затем Г.В. Шелейховский сравнивает кривую, построенную по этой функции, с кривой фактического распределения пассажиров Ленинградского трамвая по дальности, рис. и делает следующий вывод: «расселение не случайно, и, следовательно, должна существовать иная характеристика для закономерности расселения».

Таким образом, Г.В. Шелейховский в данном случае полностью отказывается от применения вероятностных функций для отображения закономерности расселения и переходит к поискам ее с помощью дифференциального уравнения, т.е. при помощи нахождения определенной математической зависимости между переменной величиной и ее приращениями. Этот момент в рассуждениях Г.В. Шелейховского оставался незамеченным благодаря тому, что и далее им применяется вероятностная терминология[3]. Сравнение, проведенное Г.В. Шелейховским, с распределением пассажиров Ленинградского трамвая, как легко видеть, находится в противоречии с выводом его, который мы процитировали, ибо обе функции вероятностного характера лишь с различными статистиками распределения.

Проследим дальнейший ход вывода Г.В. Шелейховского. Как известно, для составления дифференциального уравнения необходимо задаться какой-либо физической моделью. В качестве таковой им принято

                                                 (3.27)

т.е. угол наклона искомой убывающей дифференциальной функции распределения обратно пропорционален росту расстояния от центра тяготения, выраженному во времени[4].

После интегрирования исходного выражения получаем искомую функцию распределения расселяющихся /в дифференциальном виде/

                                             (3.28)

Принимаем расселение в границах от Т1 до Т2 можно определить неизвестные коэффициенты а и b из следующей системы двух уравнений /составленной на основе свойства функции распределения/

                                 (3.29)

Решая эту систему относительно a и b, получим

                   (3.30)

После подстановки найденных значений a и b в исходную функцию, последняя примет вид /удобный для исследования/:

Дифференциальная функция

   (3.30)

Интегральная функция                                                                   

(3.31)

Г.В. Шелейховский использует для расчетов частный вид интегральной функции, по которой определяется количество расселяющихся, выраженное в процентах, в интервале расстояний /во времени/ t2 и t1 / частость распределения/, которая имеет следующий вид в десятичных логарифмах.

                          (3.32)

после подстановки значений a и b

(3.33)

В таком виде функция Г.В. Шелейховского зависит от шага разбиения   t2-t1=m                                                                                                                       (3.34)


В работе 1946 г. /101/ Г.В. Шелейховский, стремясь упростить использование формул, дает основную формулу в виде /в тех же обозначениях/

                                                                                                       (3.35)


Погрешность вычислений по приближенной формуле по сравнению с точной составляет не более 3%.

Условие, что расселение начинается не от нуля, а от некоторого расстояния /санитарного разрыва/ имеет частное значение, а не общее. Тем не менее, благодаря разным значениям санитарных разрывов Г.В. Шелейховский построил семейство кривых расселения. На рис. приведены подлинные кривые расселения Шелейховского /полигон частот, ибо они построены по значениям функций через равные интервалы, а затем соединены прямыми линиями/ для случая: скорость сообщения /передвижения/ равна 10 км/ч, предел расселения – 60 мин.

На основе выведенных формул Г.В. Шелейховский предложил так называемую темперированную шкалу нормального расселения

Исследуем функцию Шелейховского в виде

                                                                                     (3.36)

При t=0 функция стремится к бесконечности, при t=T она равна нулю. Точку максима не имеет, математическое ожидание имеет в точке t=T/4. При T1¹0 функция отличается тем, что в точке t=T1, начала существования функции, она принимает определенное значение, в остальном тот же характер лишь кривые смещаются вправо в соответствии со значениями санитарных разрывов.

Чем объясняются загадочные максимумы и минимумы кривых расселения Г.В.Шелейховского в то время, как исследование функции показывает отсутствие экстремальных точек?

Приведем первые строки табличных значений кривых, показанных на этом рисунке, вызывающие сомнение /они подчеркнуты/.

                                                                                        Таблица 3.9

Интервалы расселения, км

Защитные зоны, км

0,1

0,2

0,5

0,75

1,5

0-1

28,50

23,25

17,00

9,25

-

1-2

20,5

21,5

23,0

24,75

14,75

2-3

15,0

16,0

17,25

18,75

25,0

 

Производим расчет процентов расселения по формуле Шелейховского, предварительно пересчитав расстояние защитных зон и интервалов во время при Vп=10 км/ч.

Результаты расчета сведены в таблицу.

                                                                                                                                                              Таблица 3.10

Защитные зоны, мин.

Начало интервала, мин.

Конец интервала, мин.

Процент расселяющихся при разных методах подсчета

0,6

0

6

35

0,9

31,4

32

28,5

1,2

0

6

36,5

0,8

29,2

25,7

23,25

3,0

0

6

41,2

0,5

20,6

16,1

17,0

4,5

0

6

46,4

0,25

11,6

8,3

9,25

9,0

6

12

32,6

0,5

16,3

14,8

14,75

 

В первой колонке процента расселяющихся значения функции, соответствующие подстановке в исходную формулу соответствующих переменных. Эти значения так значительно отличаются от фактических по расчету Г.В.Шелейховского, показанных в последней колонке, что заставляет предположить, что им был применен какой-то искусственный прием при расчете значений функции в первом интервале. Можно предположить, что значения найденных по формуле ординат затем были уменьшены с учетом величины попадания данной защитной зоны в интервал путем умножения на коэффициент К, найденный в соответствии с величиной попадания в интервал.

Расчет по этому методу показан в третьей колонке процента расселяющихся. Можно предположить и другое, что для первого интервал принято t1=T1, т.е. начало интервала равно величине защитной зоне. Расчет по этому методу приведен в предпоследней колонке. В результате этих расчетов получается данные, значительно лучше отвечающие фактически по расчету Г.В.Шелейховского, в которых помимо прочего вызывает сомнение дробная часть везде кратная 0,25. Несмотря на то, что нам не удалось точно выйти на фактические значения по расчету Г.В.Шелейховского, ясно, что им был применен какой-то метод расчета, близкий к высказанным предположениям.

 


                                                Рис. 3.10

Таким образом, искусственность при построении кривых рис. связана с тем, что при их построении смешан принцип построения графика функции и полигона частот по значениям функции при разных интервалах. В случае, с которым имел дело Г.В.Шелейховсий – неравнозначный остальным первый интервал, используется при построениях не полигон частот, а гистограмма, в которой значения по разным интервалам разбиения приводятся к какой-либо одной выбранной величине разбиения.

Следовательно, экстремальные точки на графиках Шелейховского вызваны неправильным приемом построения их. Тем не менее, благодаря этому искусственному приему, с одной стороны можно было добиться значительно сглаживания найденной функции распределения расселяющихся в сравнении с фактическими данными, особенно в первой четверти шкалы, рис. с другой стороны, окончательно запутывало ясность понимания математической сущности теории. В целях сглаживания отклонений процента количества расселяющихся в сравнении с фактическими данными Г.В. Шелейховского вводит поправочный коэффициент, названный им коэффициентом транспортной вооруженности j колеблющимся от 0 до 1, без пояснения техники его использования при построении кривых расселения. Минимумы кривых в конце шкалы на рис. объясняется тем, что найдены значения при t>T2. Это не имеет смысла, так как по условию t£T2. Остается загадкой техника построения Г.В. Шелейховским всплесков в середине шкалы теоретической кривой расселения /например для Тбилиси/.


Рис. 3.11

Можно полагать, что им применяется наложение нескольких кривых, построенных для расселения от разных центров тяготения с учетом расположения конкретного жилого фонда. В пользу этой догадки говорит приводимый Шелейховским показатель отклонения от кривых вероятностей расселения

                                              (3.37)

где n – вероятность поселения на данном расстоянии; N – количество расселяющихся по территории относительно центра тяготения.

Таким образом, противоречие функции Шелейховского заключается в том, что при нулевом значении аргумента она принимает значение бесконечно большой величины, в то время, как функция распределения количества расселяющихся должна при этом значении естественно давать нуль: в точке тяготения отсутствует расселение, исключение может представить лишь исключительный случай, когда место работы совпадает с местом жительства. Обрыв функции в точке Т также искусственен, ибо в природе функция распределения расселяющихся постепенно /асимптотически/ приближается к оси абсцисс, имея своим пределом максимально физически возможную затрату времени на поездку  в один конец:

                                                       (3.38)

где Т – затрата времени на поездку в один конец; 24 – количество часов в сутках; t1 – время работы; t2 – время на сон и еду.

В этом легко убедиться, если рассматривать фактические данные по затратам времени к месту работы не замкнуто, в пределах административных границ города, но и в пригородной зоне,  т.е. в пределах агломерации.

Указанное противоречие функции Шелейховского и является причиной того, что в ближайших зонах расселения его шкала дает чрезвычайно большой процент расселяющихся, не соответствующий фактическим данным  /это обстоятельство отмечается А.А. Поляковым, В.А. Черепановым, М.О. Хауке, Ю.А. Щацким/.

Посмотрим теперь, что может дать предложение рассматривать проценты расселения по шкале Шелейховского как удельные величины, относящиеся к единице площади последовательных кольцевых зон /М.О. Хауке/.

Табличная схема, построенная в соответствии с этим предложением, имеет вид, табл. 3.11

Таблица 3.11

Расчет распределения расселяющихся путем отнесения значений по шкале Шелейховского к единице площади последовательных кольцевых зон

Интервалы времени, мин.

Удельная величина расселяющихся по Шелейховскому Т=60 мин.

Коэффициенты площади последовательных кольцевых зон[5]

Произведение удельной величины расселяющихся на коэффициент площади

То же в % к итогу

То же нарастающим итогом

0-10

0,464

1

0,464

0,147

0,147

10-20

0,234

3

0,702

0,222

0,369

20-30

0,146

5

0,730

0,231

0,6

30-40

0,09

7

0,63

0,2

0,8

40-50

0,048

9

0,432

0,137

0,937

50-60

0,018

11

0,198

0,063

1,0

Итого

1,0

-

3,156

1,0

-

 

Интегральная функция, соответствующая этой табличной схеме, выразится следующим образом

                                                 (3.39)

где Т – предел расселения; m – шаг разбиения /интервал/; t – аргумент функции.

При подстановке в это выражение m=10мин., T=60мин. получается кумулятивные частоты распределения расселяющихся последней графы табл. В таком виде найденная функция зависит от шага разбиения – m. Исключим влияние m с помощью предельного перехода:

          (3.40)

Таким образом, окончательно искомая функция имеет следующий вид:

Дифференциальная функция

                                                                       (3.41)

Интегральная функция

                                                      (3.42)

Исследуем полученную функцию в дифференциальном виде. В точке t=0 она равна нулю и в точке t=T также равна нулю, точку максимума кривая имеет в t=T/e, математическое ожидание в точке t=4/9T. На рис. показаны графики функции Шелейховского в сравнении с ее модификацией, полученной на основе отнесения удельных значений функции Шелейховского к единице площади последовательных кольцевых зон, или иначе – рассмотрение ее не как распределение количества расселяющихся, а как распределение расселяющихся по плотности относительно центра тяготения. Устраняя главный недостаток функции Шелейховского – большие значения функции при малых значениях аргумента, - последняя страдает тем недостатком, что, благодаря быстрому нарастанию площади по кольцевым зонам, достаточно еще велики значения функции в среднем /после максимума/ и последней части распределения и, кроме того, как и у первой у нее резкий обрыв функции в точке Т вместо асимптотического приближения к оси абсцисс.

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис 3.12

Схема использования значений по шкале Шелейховского для практических расчетов, предложенная Ю.А. Шацким, принципиально не отличается от разнообразной. Отличие между ними состоит в том, что М.О. Хауке рассматривает предельный случай, когда возможности расселения равномерно увеличиваются вокруг центра тяготения, а у Ю.А.Шацкого берутся конкретные условия расселения в виде площади зон и заданной плотности в них. Благодаря этому окончательная функция количества расселяющихся, повторяя в целом общий характер разнообразной, в зависимости от конкретных условий будет иметь те или иные отклонения, выражаемые в частности наличием всплесков /нескольких экстремальных точек/.

 

 

 

Некоторые замечания по поводу книги Г.В.Шелейховского 1946 года

 

Выписки Г.А.Гольца из рукописи: Шацкий Ю.А. Экспериментальная проверка гипотез расселения Г.В. Ш. - М., 1948:

с. 80: "Сложные математические выкладки увели его (Г.В.) далеко от физической стороны явления и скрыли от него существенные в теоретическом и практическом отношении недостатки метода"

с. 82.: "Зильберталь стоял, пожалуй, на более верном пути, чем сам Г.В."

 

Г.В. Шелейховский

Работы по транспорту в градостроительстве

1. Планировка, транспорт и расселение. Литография Гипрограда. Харьков, 1934.

2. Проект планировки. Его содержание и обоснование. М., 1935. Рукопись АКХ

им. Памфилова.

3. Общие идеи в планировке. М., 1935. Рукопись АКХ им. Памфилова. Редакция

Мотолянского С.Е.

4. Транспортные основания композиции городского плана. Л., 1936. Литография

Гипрогора.

5. Композиция городского плана как проблема транспорта. М., 1946. Литография

Гипрогора (выложена на сайте)

6. Уличная сеть города и связанные с ней нормативы. // Планировка и

социалистическая реконструкция городов. вып. 5. М-Л., 1934.

7. Компактность и экономичность плана города. // Планировка и строительство

городов. №10. 1935.

8. Жилой квартал как низовое звено города. // Планировка и строительство

городов. - 1935, №7.

(составитель С.А.Ваксман)

 

 



[1] Здесь допущена неточность: общий вид функции, удовлетворяющий поставленному условию, будет: f(t)=e±c2t2

[2] В долях среднего квадратического отклонения распределения

[3] «вероятное расселение», «нормальное расселение», а также ссылки на формулу f(t)=aec2t2

[4] Г.В. Шелейховский здесь в качестве аксиомы для отображения закономерности расселения относительно центра тяготения принял так называемый логарифмический закон зависимости ощущений от соответствующих раздражений, вслед за Вебером и Фехнером, развитый Эббиггаусом e/e0=k log r/r0 или dE=kdr/r, где e0,r0 – исходное ощущение и раздражение; e,r – любое ощущение и соответствующее им раздражение. В качестве теоретической основы применения логарифмического закона для этих целей Эбинггаус указывает, что искомая функция ощущения от раздражения обладает таким свойством, что сумма равна произведению этих функций, т.е.

Это свойство присуще единственной непрерывной функции – логарифмической.

Эбинггаус Г. Основы психологии. Т.1, вып. 2. Изд. Т-ва «Общественная польза». Спб., 1911 /пер. с нем./, стр. 91-93 /Г.В. Шелейховский ссылается на этот источник в работе 1946 г.

Логарифмические зависимости в психологии находят и в настоящее время широкое применение, смотри пример: Вопросы инженерной психологии /сб. Статей, пер. с англ./. Изд. Иностр. Литературы. М., 1964.

[5] Площади последовательных кольцевых зон относятся между собой как последовательные нечетные числа: