21. Статистика расстояний

Мы переходим теперь ко второй части задачи – решению транспортно-планировочных вопросов. Вполне естественно начать эти вопросы с исследования тех расстояний, которые приходится преодолевать жителю города. По ряду соображений, нас должны интересовать как средние расстояния в городе, так и распределение расстояний в городе по частоте, с которой они встречаются. Транспортники решают эти задачи обычно чисто эмпирически следующим образом. Они делят всю территорию города на микрорайоны подобно тому, как мы это только что делали на рис. 17 при производстве расселения; они намечают центры тяжести этих микрорайонов и затем делают промеры расстояний между помеченными точками. Если выбрано n микрорайонов, то необходимо произвести, очевидно,  измерений. При 0 микрорайонах это составит 190 примеров; в большом городе, таком как Москва, необходимо будет наметить не менее 80 микрорайонов, что приводит к 3160 промерам, что уже  представляет довольно громоздкую работу. Распределяя найденные расстояния в определенных интервалах расстояний, лучше всего через 1 км., и подсчитывая количество случаев, в которых встречаются расстояния, падающие на данный интервал, мы получим искомую кривую распределения расстояний, причем шкалу удобнее всего строить в %%. Приводим в качестве примеров два случая таких кривых – для Уфы, по ее проекту планировки (рис. 20) и для Москвы (рис. 21), а также для Челябинска (рис. 21-а).

По кривым распределения расстояний легко найти среднее взвешенное расстояние.

Кривые распределения расстояний и среднее расстояние в городе, конечно, являются одной из существенных характеристик удобства и компактности планировки. Без этих характеристик суждения о компактности или не компактности плана города носят качественный, не всегда убедительный характер. Однако, для количественного выражения этих характеристик плана необходимо иметь единицу сравнения. Такой естественный для компактности плана города единицей сравнения является круг той же площади, что и площадь города. Если угодно, можно взять для сравнения равновеликий квадрат.

Для обоих этих правильных форм задача решается аналитически. Нахождение частот, с которыми встречаются внутри того или иного контура различные расстояния, представляют собою не столь просто решаемую задачу. Интересно, что решение, применяемое транспортниками, приводит к принципиальной ошибке. При таком методе подсчета оказывается, что соседних точек, на малых расстояниях, всегда мало; мало и точек на очень больших расстояниях. Кривая распределения расстояний имеет максимум, отвечающий некоторому среднему расстоянию. Она напоминает собой поэтому кривую распределения пассажиров по дальности поездки. В действительности кривая распределения расстояний внутри контура максимума не имеет; наиболее часто встречаются малые расстояния.

Наиболее просто эту задачу можно решить для круга. Воспользуемся для этого известной в теории вероятностей задачей об игле. Бросаем внутрь круга диаметра D иглу длины r. Вероятность того, что эта игла пересечет контур круга пропорциональна r/D. Пусть коэффициент пропорциональности будет k.  Вероятность p1, что игла ляжет внутри круга, будет

                                                     (42)      

Но p1 должно быть равным 0, когда r=D, т.е. k=1.

Поэтому                                                                                                           (42)

При этом предполагается, очевидно, что вероятность попадания внутрь круга отрезком длиной r пропорциональная количеству расстояний той же длины r внутри круга.

Частота, с которой расстояние r встречается внутри круга диаметра D, в интервале r от r1 до r2, будет:

или окончательно:

                                                                                                 (43)

При подсчете расстояний через 1 км., будем иметь:

                                                                                                              (44)

Аналогично задача решается и для квадрата. Вероятность того, что игла длины r пересечет одну из параллельных прямых с расстоянием l между ними – равна отношению длины средней проекции r на перпендикуляр между параллельными  kl. Так как все углы между иглой и перпендикуляром равновероятны, то средняя проекция соответствует углу в 45°, т.е. искомая вероятность равна . Вероятность противоположного события, что игла не пересечет параллельных прямых, будет 1-, а вероятность p1, что игла не пересечет и вторых двух параллельных сторон квадрата, т.е. ляжет внутри квадрата, будет:

                                                                                      (45)

она равна 1 для r=0 и равно 0 для , т.е. для диагонали квадрата. Частота расстояний в интервале r2-r1, будет (по теореме вероятностей):

                                                        (46)

Среднее квадратичное расстояние между точками круга по (42) будет:

                                         , т.е 0,41 D                           (46)

 

Интересно подсчитать еще простое среднее расстояние, а не среднее квадратичное:

                                                                                         (47)

Рассчитаем еще среднее расстояние свыше 1 км, что должно быть ближе к средней дальности поездом. Имеем:

                                                                          (48)

Средние расстояния могут быть вычислены и непосредственно, минуя статистику расстояний. Удобнее и проще в этом случае вычислить среднее квадратичное расстояние. Для круга будем иметь в полярных координатах квадрат расстояния между двумя точками (r,j) и (r,a);

Находим среднее значение d2 для заданной точки круга (r,a):

                                             (49)

Осредняя второй раз для всех r, найдем:

                                                                                         (50)

Таким образом, среднее квадратичное расстояние между точками круга будет:

                                                                                             (51)

где D – диаметр круга.

Таким же образом среднее квадратичное расстояние между точками прямоугольника со сторонами l и h будет:

                                                                (52)

что, после выполнения интегрирования и извлечения корня, дает:

                                                                                                    (52)

здесь D – диагональ прямоугольника.

Частота, с которой встречаются расстояния от r1 до r2 в круге диаметра D равна:

                                                                                        (43)

Особенно просто находятся частоты расстояний в интервале 1 км: частота расстояний от 0 до 1 км равна ; на каждый последующий интервал в 1 км она падает на %. Частоты расстояний в круге образуют, следовательно, арифметическую убывающую прогрессию. Вот какова, например, эта прогрессия для города диаметром в 10 км:

расстояния, км:        0-1    1-2     2-3     3-4     4-5     5-6     6-7     7-8      8-9     9-10  

частоты их в %%:     19     17       15      13      11        9        7        5         3         1 

Большие расстояния в круге встречаются, следовательно, значительно реже, нежели малые. Характерный закон падения частот расстояний в круге представлен на рис. 22 (кривая 1).

Среднее встречающееся в круге расстояние:

                                                                                                                          (47)

Среднее квадратичное расстояние в круге:

                                         0,45 D                                                                              (46)

Частота расстояний от r1 до r2 в квадрате со стороной l будет:

                                                                        (46)

Для города со стороной квадрата l=10 км через 1 км. получаем такую статистику расстояний:

Интервал

расстояний, км:  0-1   1-2    2-3   3-4    4-5    5-6    6-7    7-8     8-9    9-10   10-11   11-12  12-13

Частота в %%:   19,8  16,7    14    12     9,8    7,9    6,2     4,7     3,2     2,1      1,3        0,6       0,2

Статистика эта, как видим, очень близка к той. Что мы получили для круга диаметра в 10 км.

 

22. Коэффициент влияния дальности

Если бы расселение было только диффузным, то частота селящихся в тех или иных интервалах расстояний совпала бы с частотой расстояний в городе. В действительности это не так: статистика расселения предпочитает короткие расстояния в большей мере, нежели это делает статистика геометрических расстояний. Это в полной мере и представляет черт. 23, где рядом с кривой расселения нанесена кривая статистики расстояний. Кривая расселения взята для скорости сообщения в 12 км/час при предельной деятельности поездки в 1 час.

Рис. 22 представляет нормальное соотношение расселения со статистикой расстояний. Среднее расстояние при диаметре города D равном предельной дальности поселения Ra по

                                                                                                                             (47)

Средняя дальность поселения по 12IV будет:

                                                                                                                           (48)

в чем легко убедиться непосредственным подсчетом.

Действительно, вероятность поселения на расстоянии r по (14му) будет:

                                                                                                               (49)

Поэтому средняя дальность поселения

так как

 

 

Отсюда возникает понятие «коэффициента воздействия дальности» , который мы определим как отношение средней дальности расселения к среднему расстоянию в городе. Нормальное значение этого коэффициента по (47 и 48):

                                                                                                         (50)

Чем меньше значение этого коэффициента в реальных условиях планирования, тем планировка удобнее.